Question

高中数学题：已知x、y为正实数，且x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值。

Answer 1

根据均值不等式
x+2y≥2√[x*(2y)]=2√(2xy）,当且仅当x=2y取等
两边平方得
(x+2y)^2≥8xy……（*）

将x=2y代入x+2y+2xy=8得
x+x+x^2=8
x^2+2x-8=0
(x+4)(x-2)=0
x1=-4(负值舍去),x2=2
所以x=2,y=x/2=1
由（*）知
(x+2y)^2≥8xy=8*2*1=16
两边开平方得
x+2y≥4
即x+2y的最小值是4

Answer 2

也可用柯西不等式解答

因为x+2y+2xy=8
所以x（1+2y)+2y+1=9
所以（x+1)(2y+1)=9
因为（x+1)(2y+1)≥（√2xy+1）平方
所以（√2xy+1）平方≤9
所以0≤（√2xy+1）≤3
所以0≤xy≤2
因为x+2y+2xy=8
所以x+2y=8-2xy≥4
所以x+2y的最小值为4

Answer 3

令x+2y=a；则x=a-2y；
带入方程x+2y+2xy=8，
整理得a=(8+4y^2)/(1+2y)=1+2y+9/(1+2y)-2
由于1+2y大于0；根据a+b≥ 2√ab
所以上式≥ 2×3-2=4，即a≥4，仅当1+2y=3 即y=1是取得最小值（此时x为2）
所以最小值为4

Answer 4

均值定理即可，再利用换元方法，是一个一元二次的方程