Question

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x^2

（1）当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
(2)计算f（0）+f(1)+f(2)+·········+f(2012)

求具体解答过程,一定要具体.谢谢了.

Answer 1

因为 f(x+2)=-f(x)，所以 f(x+4) = -f(x+2)
所以 f(x) = f(x+4)
则f(x) 的周期为4.

x∈[-2,0] 时，-x∈[0，2],
则f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-2x- x^2,
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-[ -2x- x^2]= 2x+x^2 (x∈[-2,0] 时).

当x∈[2，4]时，x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=2(x-4)+(x-4)^2
因为f(x) 的周期为4，
所以f(x)=f(x-4)= 2(x-4)+(x-4)^2
=x^2-6x+8（x∈[2，4]时）.

当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x^2
当x∈[2，4]时，f(x)= =x^2-6x+8

所以f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.
因为f(x) 的周期为4，
所以f（0）+f(1)+f(2)+……+f(2012)
= [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+[ f(4)+f(5)+f(6)+f(7)]+……+[ f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)]+ f(2012)
=0+0+……+0+ f(2012)
= f（0）
=0.

Answer 2

（1）因为任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)，所以，f(0)=-f(2)，
当x∈[2，4]时，令x=y-2,则有f(y-2)=2*(y-2)-(y-2)^2=-y^2-8
又：f(y-2)=-f(y)
所以f(y)=y^2+8， 即当x∈[2，4]时，f(x)=x^2+8
（2）因为f(0)=-f(2),f(1)=-f(3),
所以f(0)+f(1)+f(2)+f)3)=0
f（0）+f(1)+f(2)+·········+f(2012)=f(2012)=(-1)^1006*f(2)=f(2)=-f(0)
由f(x)=2x-x^2得f（0）=0,
所以f（0）+f(1)+f(2)+·········+f(2012)=0

追问

（1）因为任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)，所以，f(0)=-f(2)，请问一下这一步是什么意思?
还有x∈[2，4]到底有什么用, 我怎么好像第二问这个条件没用?

求解谢谢..!