Question

如图,△ABC中（AB≠AC）,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA,交AE于点F,AE平分∠BAC，求证DF=AC

如图,△ABC中（AB≠AC）,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA,交AE于点F,AE平分∠BAC，求证DF=AC

Answer 1

过E点作DF的平行线，过F点做CD的平行线，两线相交于点G，连结CG
容易证明四边形DEGF和四边形ECGF为平行四边形

延BA作延长线AH，使AH=DF，连结HG
因为AH=DF=EG，AHEG，所以四边形DGHA为平行四边形
因为AE//HG，AE//GC，且HG与GC相交于点G，所以HGC共线
因为AH=DF=AC，所以∠ACH=∠AHC
又因为∠EAB=∠CHB(叫同位角吧？忘记了)，∠CAE=∠ACG(内错角)
所以∠BAE=∠EAC
得证
又想到一个解法，更简单些

连结FC，过D点作FC的平行线，过C点作FD的平行线，相交于点G
则四边形DFCG为平行四边形，连结EG
因为DE=EC，根据平行四边形的性质，对角线平分，应该容易证明AFEG共线
因为AC=CG，根据等腰三角形和平行线内错角相等的性质，很容易得证

Answer 2

过D作AE的平行线，与CA的延长线相交于点G，与AB相交于H，
∵DF‖AB
∴四边形DFAH是平行四边形
∴DF=AH
∵AE‖DG，DE=EC
∴AG=AC，∠CAE=∠CGD
∵AC=DF
∴AG=AH

∴∠AGH=∠AHG=∠HAE
∴∠CAE=∠HAE
∴AE平分∠BAC
还有一个容易理解的，倍长中线啊啊！
证明：延长FE到G，使EG=EF，连接CG．
在△DEF和△CEG中，
∵ED=EC∠DEF=∠CEGFE=EG，
∴△DEF≌△CEG．
∴DF=GC，∠DFE=∠G．
∵DF∥AB，
∴∠DFE=∠BAE．
∵DF=AC，
∴GC=AC．
∴∠G=∠CAE．
∴∠BAE=∠CAE．
即AE平分∠BAC．