AB=AC,CD垂直于AB于D,BE垂直AC于E,BE与CD相交于点O,连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由
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延长AO交BC于F 在RT三角形ADO和RT三角形AEO中,AD=AE﹝自己证〕,AO=AO〔公共边〕,所以,RT三角形ADO全等于RT三角形AEO(HL)所以,角BAO=角CAO 在三角形ABF和三角形ACF中,AB=AC(已知) 角BAO=角CAO (已证) AF=AF(公共边) 所以,三角形ABF全等于三角形ACF 所以,角AFB=角AFC 所以,AO垂直于BC
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互相垂直,
在Rt△ADO与Rt△AEO中,
∵OA=OA,AD=AE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO,
∴∠DAO=∠EAO,
即OA是∠BAC的平分线,
又∵AB=AC,
∴OA⊥BC且平分BC
在Rt△ADO与Rt△AEO中,
∵OA=OA,AD=AE,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO,
∴∠DAO=∠EAO,
即OA是∠BAC的平分线,
又∵AB=AC,
∴OA⊥BC且平分BC
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感觉应该是互相垂直,至于证明嘛,暂时还没想到好的办法
有了。证明如下:
∵AB=AC,CD垂直于AB于D,BE垂直AC于E
∴AD=AC*cos∠BOC, AE=AB*cos∠BOC=AC*cos∠BOC=AD
又OD^2=AO^2-AD^2, OE^2=AO^2-AE^2=AO^2-AD^2=OD^2
∴△AOD与△AOE三边都相等,∴△AOD≌△AOE
∴∠OAD=∠OAE, 即OA为∠BOC的角平分线
而△ABC为等腰三角形(AB=AC),
∴顶角平分线垂直于底边,即AO⊥BC
有了。证明如下:
∵AB=AC,CD垂直于AB于D,BE垂直AC于E
∴AD=AC*cos∠BOC, AE=AB*cos∠BOC=AC*cos∠BOC=AD
又OD^2=AO^2-AD^2, OE^2=AO^2-AE^2=AO^2-AD^2=OD^2
∴△AOD与△AOE三边都相等,∴△AOD≌△AOE
∴∠OAD=∠OAE, 即OA为∠BOC的角平分线
而△ABC为等腰三角形(AB=AC),
∴顶角平分线垂直于底边,即AO⊥BC
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还有更简单的方法:
∵在线段BC中,AB=AC
∴直线OA垂直平分线段BC(到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
∴直线OA垂直于直线BC
∵在线段BC中,AB=AC
∴直线OA垂直平分线段BC(到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
∴直线OA垂直于直线BC
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