Question

AB=AC,CD垂直于AB于D,BE垂直AC于E,BE与CD相交于点O,连接OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由

Answer 1

延长AO交BC于F 在RT三角形ADO和RT三角形AEO中，AD=AE﹝自己证〕，AO=AO〔公共边〕，所以，RT三角形ADO全等于RT三角形AEO(HL)所以，角BAO=角CAO 在三角形ABF和三角形ACF中，AB=AC(已知) 角BAO=角CAO (已证) AF=AF(公共边) 所以，三角形ABF全等于三角形ACF 所以，角AFB=角AFC 所以，AO垂直于BC

Answer 2

互相垂直，
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
∵OA=OA，AD=AE，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
∴∠DAO=∠EAO，
即OA是∠BAC的平分线，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC且平分BC

Answer 3

感觉应该是互相垂直，至于证明嘛，暂时还没想到好的办法

有了。证明如下：
∵AB=AC，CD垂直于AB于D,BE垂直AC于E
∴AD=AC*cos∠BOC, AE=AB*cos∠BOC=AC*cos∠BOC=AD
又OD^2=AO^2-AD^2, OE^2=AO^2-AE^2=AO^2-AD^2=OD^2
∴△AOD与△AOE三边都相等，∴△AOD≌△AOE
∴∠OAD=∠OAE, 即OA为∠BOC的角平分线
而△ABC为等腰三角形(AB=AC)，
∴顶角平分线垂直于底边，即AO⊥BC

Answer 4

还有更简单的方法：
∵在线段BC中，AB=AC
∴直线OA垂直平分线段BC（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
∴直线OA垂直于直线BC