Question

如图，在△ABC中，BC边上有一点P，过P分别作AB、AC的平行线，交AC、AB于D、E

(1)是否存在点P，使得四边形AEPD为菱形？若存在，作出点P并加以证明；若不存在，请说明理由。
（2）探索：当△ABC满足什么条件时，四边形AEPD为正方形，并加以证明。
（回答好的再加分）
好了

Answer 1

（1）存在。
证明：做∠BAC的角平分线，交BC于点P，过P分别作AB、AC的平行线，交AC、AB于D、E。
由已知，EP∥AD，∠EAP=∠DAP，则
∠EAP=∠EPA，即AE=EP
又由已知得,四边形AEPD为平行四边形，则EP=AD，AE=DP，
所以EP=AD=AE=DP
所以四边形AEPD为菱形。
所以存在点P，使得四边形AEPD为菱形。

（2）当△ABC中：∠A=90°AC=AB P为BC中点时,四边形AEPD为正方形.
证明：
因为 P为BC中点，过P分别作AB、AC的平行线，交AC、AB于D、E
则：四边形AEPD为平行四边形，AE=½AC，AD=½AB，
由已知AC=AB，即AE=AD，且∠A=90°，
所以四边形AEPD为正方形。（一个角为90°的菱形是正方形）

Answer 2

解：（1）存在
做角A的平分线交BC上的点即为P点，
∵AP为角A 的平分线
所以∠CAP=∠PAB
∵DP//AB,PE//AC
∴DPEA为平行四边形（平行四边形判定定理）
又∵DP//AB
∴∠PAB=∠APD（两条直线平行，内错角相等）
∴∠CAP=∠APD
∴AD=DP(等角对等边）
所以四边形AEPD为菱形。（菱形判定定理)
（2）当△ABC为直角三角形且∠A=90°时，四边形AEPD为正方形
证明按（1）所做AEPD为菱形
又∠A=90°
则四边形AEPD为正方形（有一角为直角的菱形为正方形）

Answer 3

1 存在。
作角A的角平分线交BC于P点，然后过点P分别作AB及AC的平行线，交AC及AB于点D及E,这样AEPD即为菱形。因为AP为角平分线，加上PD为AB平行线，故∠DPA=∠DAP,既DA=DP,所以即可求证AEPD为菱形。

Answer 4

如图?

追问

等等，忘了

追答

解：（1）存在
做角A的平分线交BC上的点即为P点，
∵AP为角A 的平分线
所以∠CAP=∠PAB
∵DP//AB,PE//AC
∴DPEA为平行四边形（平行四边形判定定理）
又∵DP//AB
∴∠PAB=∠APD（两条直线平行，内错角相等）
∴∠CAP=∠APD
∴AD=DP(等角对等边）
所以四边形AEPD为菱形。（菱形判定定理)
（2）当△ABC为直角三角形且∠A=90°时，四边形AEPD为正方形
证明按（1）所做AEPD为菱形
又∠A=90°
则四边形AEPD为正方形（有一角为直角的菱形为正方形）