Question

已知函数f<x>=ln<1+x>/x

1.确定y=f<x>在<0,正无穷>上的单调性
2.设h<x>=x乘以f<x>-x-a<x的立方 在<0,2>上有极值，求a的取值范围

Answer 1

(1)用到多次求导。
f'(x)=[x-(1+x)ln(1+x)]/(1+x)x^2
可以看到f'(0)=0，那么我们很想证明f'(x)在（0，+∞）恒正或恒负。
分母恒为正，不管他。设分子g(x)=x-(1+x)ln(1+x)。
g'(x)=1-ln(1+x)-1=-ln(1+x)<0
所以g(x)为减函数。又因为g(0)=0，所以g(x)<0，即f'(x)<0，即f(x)为减函数。
（2）h(x)=xf(x)-x-ax^3
=ln(1+x)-x-ax^3
h(x)'=1/(1+x)-1-3ax^2
={-x(3ax^2+3ax+1)}/(x+1)
要使h(x)=xf(x)-x-ax^3在（0，2）有极值，
则有函数y=3ax^2+3ax+1在（0，2）与x轴相交。
若y（2）≥0，则必须有y（2）=18a+1≥0
3a＞0
y(min)=1-(3/4)a≤0
解得，a≥4/3
若y（2）＜0，因为y(0)＞0，则函数与x轴必然有交点，
y（2）=18a+1＜0
解得，a＜-1/18
综上所述，a的取值范围为{a＜-1/18或a≥4/3}

Answer 2

1.求导得（1-lnx）/x^2，lnx<1即x<e为增函数，x>=e为减函数

2.怎么有个<？抄错了吧。。。

追问

恩，打错了
f-x-a乘以x的立方

追答

题目是x*（f（x）-x-a）*x^3？

追问

恩，怎么都算不出