Question

如图，P为等边三角形ABC内的一点，角BPC=150度，(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方

（2）若P为等边三角形ABC外的一点，角BPC=30度 则（1）中的结论是否成立？请说明理由

Answer 1

证明：
在△ABC外侧(BC的下方)找一点D，使∠DBC=∠ABP且BD=BP 连接BD、BP、CD
∵∠DBC=∠ABP
∴∠ABC=∠PBD=60°
∵BD=BP
∴△BDP是等边三角形
∴∠BPD=60°
∵∠BPC=150°
∴∠CPD=∠BPC-∠BPD=90°
∴PD²+PC²=CD²
△ABP≌△CBD (AB=AC ∠ABP=∠CBD BD=BD)
∴PA=CD PB=PD(△PBD是等边三角形)
代入PD²+PC²=CD² 得
PA²=PB²+PC²

Answer 2

将△PBC逆时针旋转60度，BC恰好与BA重合，P转到Q点，联接PQ
则△BPQ是等边三角形
∴BP=BQ ∠BQP=60°
∴∠AQP=150°-60°=90°
在RT△BPQ中
PA²=AQ²+PQ²=PB²+PC²