Question

设o为坐标原点，给定一个定点A（4，3），而点B（x，0）在x轴的正半轴上移动，l（x）表示向量AB的长

设o为坐标原点，给定一个定点A（4，3），而点B（x，0）在x轴的正半轴上移动，l（x）表示向量AB的长，则函数y=x/l（x）的值域为

Answer 1

y=x/l（x）=x / [( (x - 4)^2+9 )^0.5]
={ 1 / [ 25(1/x - 4/25)^2+9/25 ] }^0.5
因为 x>0
1/x > 0
易得：25(1/x - 4/25)^2+9/25 >=4/25
0 < y <= 5/2

Answer 2

l(x)=|AB|=√[(x-4)²+9]
y=x/√[(x-4)²+9]
=x/√(x²-8x+25)
x=0时，y=0
x>0时，分子分母同时除以x
y=1/√(1-8/x+25/x²)
设1/x=t>0
u= 1-8/x+25/x²
=25t²-8t+1
=25(t²-8/25t+16/625)+9/25
=25(t-4/25)²+9/25
∴t=4/25时，umin=9/25
∴ymax=1/√umin=5/3
x>0时，0<y≤5/3

当x<0时，
x>0时，分子分母同时除以-x
y=-1/√(1-8/x+25/x²)
设1/x=t<0
u= 1-8/x+25/x²
=25t²-8t+1
∵ t<0 ∴y>1
∴√(1-8/x+25/x²)>1
y=-1/√(1-8/x+25/x²)∈(-1,0)
综上，函数值域为(-1,5/3]