Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c+4lnx的极值点为1和2。（1）求实数a，b的值

（2）讨论方程f（x）=3x^2根的个数（3）设h（x）=1/4*f（x）-1/4*x^2+3/2*x，斜率为k的直线与曲线y=h（x）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1
＜x2）两点，试比较1/k与（x1+x2）/2的大小，并给予证明

Answer 1

(1)f(x)'=2ax+b+4/x
因为函数有极值点1和2，所以
f(1)'=2a+b+4=0
f(2)'=4a+b+2=0
解得 a=1，b=-6

(2) 由（1）得f(x)=x^2-6x+c+4lnx
所以 f（x）=3x^2 即为 x^2-6x+c+4lnx=3x^2
2 x^2+6x-c-4lnx=0
令g(x)=2 x^2+6x-c-4lnx
g(x)'=4x+6-4/x
令g(x)'=0，有x=-2(舍)，x=1/2
当0＜x＜1/2时，g(x)'＜0，g(x)为减函数
当x＞1/2时，g(x)'＞0，g(x)为增函数
所以当x=1/2时，函数g(x)取最小值7/2+4ln2-c
当c＞7/2+4ln2时，g(1/2)＜0，方程有两个根
当c=7/2+4ln2时，g(1/2)=0，方程有一个根
当c＜7/2+4ln2时，g(1/2)＞0，方程没有根

(3)h(x)=1/4*f（x）-1/4*x^2+3/2*x
=lnx+1/4*c
假设直线方程y=kx+b
令kx1+b=lnx1+1/4*c
kx1+b+kx2+b=lnx1+1/4*c+lnx1+1/4*c
整理得：（x1+x2）/2=(lnx1+lnx2+1/2*c-b)/k
要比较 1/k与（x1+x2）/2的大小，就是要比较1与lnx1+lnx2+1/2*c-b的大小。
令Y=lnx1+lnx2+1/2*c-b-1
=lnx1x2+1/2*c-b-1