Question

设A是m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是r(A)=m

为什么是m呢？不懂呀
谢谢你的回答，那我想问r(A)<m呢？

Answer 1

注: 由于非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 r(A)=r(A,b)
所以只需证明: r(A) = m 时, 必有 r(A)=r(A,b).

证明: 因为r(A) = m
所以 A 的行向量组的秩 = m
而A是m×n矩阵
所以 A 的行向量组线性无关.
又由线性无关的向量组添加若干个分量仍线性无关 (这是定理)
所以 (A,b) 的行向量组线性无关
所以 (A,b) 的行向量组的秩 = m
所以 r(A,b) = m = r(A).
故非齐次线性方程组AX=b有解 #

注: r(A)<m 时不一定有解.

Answer 2

m代表行向量满秩
方程有解的充要条件是 r(A)=r(A|b)
因为行满秩 所以上式必然成立，但是r(A)=m不是必要条件

Answer 3

这个解释有问题。