Question

高中数学等差数列

已知{an}是各项为正数的等比数列，且a1a3+2a2a4+a3a5=100，4是a2和a4的一个等比中项，求数列{an}的通项公式
要过程、过程尽量详细，谢谢

Answer 1

等比数列，则：a1a3=(a2)²，a3a5=(a4)²，则：
a1a3＋2a2a4＋a3a5=(a2)²＋2a2a4＋(a4)²=(a2＋a4)²=100，则：a2＋a4=10【负值舍去】
又：a2a4=(a3)²=4²，则：a3=4，则：
a2=2、a3=4、a4=8或a2=8、a3=4、a2=2。
从而：a1=1、q=2或a1=16、q=1/2
则：an=2^(n－1)或an=16(1/2)^(n－1)=(1/2)^(n－5)

Answer 2

由已知 4是a2和a4的一个等比中项 和等比数列性质 知a3=4
而因为是a1a3=a2^2,a3a5=a4^2 ( ^ 符号表示 幂/次方 )
故 a1a3+2a2a4+a3a5
= a2^2 + 2a2a4 + a4^2
= (a2+a4)^2 = 100
因为各项为正数，于是 a2+a4=10
由 a2+a4=10 和 a2a4 = a3^2=16 得，
1）、a2=2,a4=8,则通项公式为 an=2^(n-1)
2）、a2=8,a4=2,则通项公式为 an=32/2^n

追问

最后是(32/2)^n 还是32/(2^n)?

追答

第二种情况，自然是根据数学上的算数优先级，也就是说32/2^n = 32/(2^n)

Answer 3

a2*a4=16
a3*a3=16
因为是正数
a3=4
a2*q=4
a1a3+2a2a4+a3a5=100
4a1+2*16+4a5=100
a1+8+a5=25
a1+a5=17
a1+4q^2=17将该式与a1*q^2=4连立即可解出

Answer 4

a1a3=a2平方，a3a5=a4平方，所以（a2+a4）平方=100
即a2+a4=10，（1）
又4是a2和a4的一个等比中项（即a2×a4=16），（2）
由方程（1）（2）可得a2=2，a4=8
或a2=8，a4=2，
所以an=2的（n-1）次方
或an=16×2的（n-1）次方

Answer 5

得：a3=4 ，所以 a2*a4=a3*a3=4*4=16 ， 所以 a1a3+2a2a4+a3a5=a3（a1+a5）+2*16=100
解得：a1+a5=17 又因为an是等比数列，所以a1+a5=a3/q+a3*q=17（q为公比） ，
解得：q=1/4或4 所以a1=64或1/4 ，则an=4的（4-n）次方 或 an=4的 （n-2）次方
希望你能看懂~~

追问

好像不大对吧

追答

思路大概这样，我也感觉有点不对。但是身边没有草稿纸，不好意思，你再算一下吧
或者题目第一句是不是等差数列？

追问

就是等比数列 。谢谢你身边没有草稿纸还能帮我，谢谢

Answer 6

a1a3=a2方,a3a5=a4方.所以有(a2+a4)的平方=100,又因各项均为正,故a2+a4=10,又有a2a4=16,解得a2=2,a4=8或a2=8,a4=2,所以a(n)=2的n-1次方或a(n)=32/2n.希望能帮到你,谢谢！