Question

如何用配方法求 f(x+1/x)=x^2+1/x^2，。 用配方法，换元法f(√x+1)=x+2√x, 求f(x)的函数解析，求详细过程

求详细过程， 希望有附文字叙述， 谢谢！

Answer 1

∵ 给原函数式加一个2，再减一个2得： f(x+1/x）=x²+1/x²=x²+2+1/x²-2=(x+1/x)²-2 。此式是以（x+1/x）为自变量函数的解析式，所以以x为自变量时，函数解析式是：f(x)=x²-2。
∵ 令u=√x+1，则√x=u-1，即x=(u-1)²， f(√x+1)=f（u）=(u-1)²+2(u-1)=u²-2u+1+2u-2=u²-1。这个式子是以u为自变量时函数的解析式。那么以x为自变量时，函数的解析式就是：f(x)=x²-1。

追问

给原函数式加一个2，再减一个2得： f(x+1/x）=x²+1/x²=x²+2+1/x²-2=(x+1/x)²-2 。请问为什么要加2呀？ 什么来的?

追答

因为加一个2后，才能与原式中的两项x²+1/x²合起来构成一个完全平方式。即：（x+1/x)²=x²+2x*1/x+(1/x)²。

追问

喔， 这个懂了， 再请教下， 其他像这样的用配方都需要加2减2构成完全平方吗?

追答

是。完全平方式展开的口诀是：（甲+乙）²=甲平方，乙平方，,二倍甲乙中间放。然后缺“什么项”就配“什么项”？

追问

噢， 大概懂了， 非常感谢!

Answer 2

f(x+1/x)=（x+1/x）²-2 f(x)=x²-1
√x+1=t x= (t-1)² （t>=1) f(t)= (t-1)² +2(t-1) f(x) = (x-1)² +2(x-1) 能理解吗？

Answer 3

配方法求 f(x+1/x)=x^2+1/x^2＝﹙x+1/x﹚²－2，f(x)＝x²－2;换元法f(√x+1)=x+2√x,令t＝√x+1,则t²＝x+2√x﹢1,∴f(x)＝t²－1.

Answer 4

f(x+1/x)=x^2+1/x^2
=x^2+1/x^2+2-2
=(x+1/x)^2-2
f(x)=x^2-2

f(√x+1)=x+1+2√x+1+1-2
=(√x+1)^2-2
f(x)=x^2-2

Answer 5

f(x+1/x)=x^2+1/x^2=x^2+1/x^2+2-2=(x+1/x)^2-2 其中x+1/x>=2或x+1/x<=-2
f(x)=x^2-2 x>=2或x<=-2

f(√x+1)=x+2√x=（√x）^2+2√x+1-1=(√x+1)^2-1, 其中√x+1>=1
f(x)=x^2-1 x>=1

Answer 6

令x+1/x=t,
f(t)=x^2+(1/x)^2+2-2-----------------------目的是凑a^2+2ab+b^2=（a+b）^2 ，
=（x+1/x)^2-2
=t^2-2

x可以看成是根号x的平方，1看成是1的平方
f(√x+1)=（(√x)^2+2√x+1-1-------------凑a^2+2ab+b^2=（a+b）^2
=(√x+1)^2-1
还元，令√x+1=t
则 f(t)=t^2-1