Question

设向量组α1，α2，α3线性无关,β1=α1+α2，β2=3α1-5α2，β3=5α1+9α2，判断β向量组线性关系

RT
我不明白为什么由A组其中两个向量表示就能推出B组向量必定线性无关怎么推的~求解

Answer 1

解: 由已知, β1,β2,β3 可由 α1,α2 线性表示
所以 r(β1,β2,β3) <= r( α1,α2 ) <=2. (*)
所以 β1,β2,β3 线性相关. (**)

注:(*) 这是定理. 若一个向量组可由另一个向量组线性表示, 则其秩不超过另一个向量组的秩
(**) r(α1,α2,...,αs) < s 的充分必要条件是 α1,α2,...,αs 线性相关.
另, 没用到α1，α2，α3线性无关的条件!

Answer 2

{β1，β2，β3}一定线性相关。

因为你无法用｛β｝去表示α1，α2，α3。

Answer 3

令x1β1+x2β2+x3β3=0
则x1(α1+α2)+x2(3α1-5α2)+x3(5α1+9α2)=0
进一步(x1+3x2+5x3)α1+(x1-5x2+9x3)α2=0
由于α1，α2，α3线性无关，所以α1，α2线性无关
所以x1+3x2+5x3=0，x1-5x2+9x3=0
这个方程组有非零解，所以β1，β2，β3线性相关
事实上β2=13β1-2β3