Question

如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AC上的一点,连接DE，并延长交BA延长线于F，且ED=FE,

如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AC上的一点,连接DE，并延长交BA延长线于F，且ED=FE,AG∥FD交BD于G,DH∥BA交AC于H,求证：GD:CD=DH:FB

Answer 1

首先，看到FB实际上由两段，DH:FB并没有直接的比例关系可以推导，所以想到把FB拆分为BA和AF；为了方便化简，把FB放到分子上：

FB:DH=(BA+AF):DH=BA:DH+AF:DH

∵DH∥BA，D是BC的中点

∴BA:DH=BC:DC=2DC:DC=2；AH:HC=BD:DC=1

∵AG∥FD，ED=FE

∴AF:DH=AE:EH=FE:ED=1；GD:CD=AE:EC

∴FB:DH=BA:DH+AF:DH=2+1=3，即DH:FB=1:3

∵AH:HC=1；AE:EH=1

∴GD:CD=AE:EC=AE:(EH+HC)=AE:(EH+AH)=AE:(EH+AE+EH)=AE:(3AE)=1:3

∴GD:CD=DH:FB=1:3