Question

如图1,已知△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于O(1)若∠ABC=60°

(1)若∠ABC=60°，∠ACB=80°，求∠A，∠BOC的度数；若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠A，∠BOC的度数分别是多少？
(2)根据(1)的解答，请你猜想出∠BOC与∠A的度数的数量关系。这个结论对任意三角形都成立吗？为什么？
(3)如果把∠C的平分线OC改为∠C的外角平分线，如图2所示，则(2)的结论还成立吗？若成立，试说明理由；若不成立，请写出你的新结论。

跪求各位大虾。

Answer 1

（1）、①∠A=180°-60°-80°=40°，∠BOC=180°-60°/2-80°/2=110°；
②∠A=180°-50°-70°=60°；∠BOC=180°-50°/2-70°/2=120°。
（2）、对于任意三角形，我们有∠BOC=180°-∠B/2-∠C/2=180°-（∠A/2+∠B/2+∠C/2）+∠A/2
180°-90°+∠A/2=90°+∠A/2。
（3）、若∠ABC的平分线与∠ACB外角的平分线交于O'点，则∠BO'C与∠BOC不会相等，
由∠O'CE=(180°-∠C)/2=90°-∠C/2， 得∠BO'C=(90°-∠C/2)-∠B/2=90°-∠C/2-∠B/2=∠A/2。
或者，因为CO和CO'两条平分线夹角为90°，所以∠BO'C=∠BOC-90°=90°+∠A/2-90°=∠A/2。

追问

（2）还需要理由。 还有（3），我给的图上没有出现O'啊。图1 和 图2不是一起的。分开看。而且也没说平分线夹角为90°。 大虾，再帮帮忙呗。顺便把（3）说的简单些，可以不？跪求跪求

追答

只是叙述的简略了一些。下文中∠B=∠ABC；∠C=∠ACB。
（2）、对于任意△ABC，若∠B与∠C的平分线交于O，那么在△BOC中，由三内角和180° 得∠BOC=180-∠OBC-∠OCB=180°-∠B/2-∠C/2=180°-（∠A/2+∠B/2+∠C/2)+∠A/2， 其 中∠A/2+∠B/2+∠C/2=(∠A+∠B+∠C)/2=180°/2=90°，所以∠BOC=180°-90°+∠A/2
=90°+∠A/2。
也可以如下计算：因为∠B/2+∠C/2=(∠B+∠C)/2=(180°-∠A)/2=90°-∠A/2，
所以，在△BOC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠B/2+∠C/2）=180°-（90°-∠A/2）=90°+∠A/2。
（3）、是这样的，因为后面的叙述中要用到∠B与∠C的平分线交点O，所以擅自把题目中∠B的平分线与∠C外角平分线的交点记作了O'，这已在证明的开端作了声明。
设有△ABC，∠B与∠C的两平分线交于O，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于O'， 那 么∠OCO'=∠OCA+∠ACO'=∠C/2+（180°-∠C)/2=∠C/2+90°-∠C/2=90°，
对于△OCO'有∠BOC=∠OCO'+∠BO'C，所以∠BO'C=∠B OC-∠OCO'=(90°+∠A/2)-90°
=∠A/2。