Question

已知a.b.c.d为正实数，且a+b+c+d=1求证a^2+b^2+c^2+d^2大于等于1/4

Answer 1

根据n项的柯西不等式
(a1²+a2²+a3²+...+an²)(b1²+b2²+b3²+...bn²)≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)²，得
(a²+b²+c²+d²)(1²+1²+1²+1²)≥(a*1+b*1+c*1+d*1)²
所以 (a²+b²+c²+d²)*4≥(a+b+c+d)² = 1
所以 a²+b²+c²+d² ≥ 1/4，当且仅当a = b = c = d = 1/4时等号成立。得证。