Question

已知a+b+c=3，(a-1）^3+（b-1）^3+（c-1）^3=0，且a=2，求a^2+b^2+c^2的值。

（1）已知a+b+c=3，(a-1）^3+（b-1）^3+（c-1）^3=0，且a=2，求a²+b²+c²的值。
（2）思考：若a+b+c≠0，且a^3+b^3+c^3-3abc=3(a+b+c)。求（a-b）^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)的值。

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Answer 1

(1)
a+b+c=3
b+c = 1
b^2 + c^2 + 2bc = 1 .......... (1)
（b-1）^3+（c-1）^3 = -1
(b-1+c-1)(b^2+c^2+bc-b-c+1) = -1
b^2 + c^2 - bc = 1 ............ (2)
所以：(1) - (2)
bc = 0
b^2 + c^2 = 1
a^2+b^2+c^2 = 5
(2)
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) = 3(a+b+c)
所以：
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac = 3 (a+b+c≠0)
而：（a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)
= a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+ab-b^2-ac+bc
= a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac = 3

追问

第二问怎么做到的？

Answer 2

第一问：简单的特殊值法，令a=2,b=1,c=0,于是得到结果5；稍复杂点的，也是把a=2先带进去，然后得到b+c=1,然后把1+（b-1）^3+（c-1）^3=0展开，3次降2次，把b+c=1不断带进去，bc用b方和c方配成（b+c)方，得到b^2+c^2＝1结果为5，

Answer 3

第一问：由a=2，(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=b^3+c^3+3(b+c)-1-3(b^2+c^2)=0
又由b+c=1，a=2，上式可变为：（b^3+c^3+14）/3=a^2+b^2+c^2................①
又由a+b+c=3得：(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac,由b+c=1，a=2得：a^2+b^2+c^2+4+2bc=9,化简：a^2+b^2+c^2+2bc=7..................②
再由b+c=1得：(b+c)^3=b^3+c^3+3(b+c)-3(b^2+c^2)-1,化简：b^3+c^3=1-3bc.............③
联立①②③式，得：bc=-2/3,再带入②式，得a²+b²+c²=25/3
第二问我不会做。

Answer 4

(1) a=2,(a-1)^3=1
a+b+c=3 b+c=1 c=b-1
(a-1）^3+（b-1）^3+（c-1）^3=0 即 1+(b-1)^3+(b-2)^3=0
令b-1=m 即 m^3+(m-1)^3=-1 m=0 b=1 c=0
a²+b²+c²=4+1+0=5

Answer 5

第一问bc取任何值都行，只要满足b+c=1，所以无解