三角形ABC中,P为中线AM上一点,|AM|=4,求 向量 PA(PB+PC)的 最小值呢?
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这是江苏高考的一个填空题。
PB＋PC=2PM，则：PA(PB＋PC)=PA*2PM，设|PA|=x，则：
=2x×(4－x)(－1)
=－2(4x－x²)
=2x²－8x
=2(x－2)²－8
最小值是－8
PB＋PC=2PM，则：PA(PB＋PC)=PA*2PM，设|PA|=x，则：
=2x×(4－x)(－1)
=－2(4x－x²)
=2x²－8x
=2(x－2)²－8
最小值是－8
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PB+PC=2PM,则：
PA(PB+BC)=PA*2PM=2PA(AM-AP)=2PA(AM+PA)=2(PA)^2-2|PA|*4=2(PA)^2-8|PA|
=2(|PA|-2)^2-8
所以当|PA|=2时，有最小值-8.
PA(PB+BC)=PA*2PM=2PA(AM-AP)=2PA(AM+PA)=2(PA)^2-2|PA|*4=2(PA)^2-8|PA|
=2(|PA|-2)^2-8
所以当|PA|=2时，有最小值-8.
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2+4根号5
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