Question

求lim(x→∞) x(e^1/x-1)的极限，请写出详细过程

Answer 1

求x→∞limx[e^(1/x)-1].
解：x→∞limx[e^(1/x)-1]=x→∞lim[e^(1/x)-1]/(1/x) (0/0型，用罗比塔法则：分子分母分别求导）
=x→∞lim[-(1/x²)e^(1/x)]/(-1/x²)=x→∞lime^(1/x)=1

Answer 2

lim(x→∞) x(e^1/x-1)
=lim(x→∞) [(e^1/x-1)/(1/x)]
=lim(x→∞) (e^1/x-1)'/(1/x)'
=lim(x→∞) [e^(1/x)](-1/x^2)/(-1/x^2)
=lim(x→∞) e^(1/x)
=e^0
=1
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

追问

=lim(x→∞) (e^1/x-1)'/(1/x)' 是如何演变成下一步的？
=lim(x→∞) [e^(1/x)](-1/x^2)/(-1/x^2)

Answer 3

等价无穷小：e^x－1～x（x→0时）。所以x→∞时，e^(1/x) - 1 ～1/x，所以lim(x→∞) x(e^1/x-1)＝lim(x→∞) x×1/x＝1

Answer 4

=(e^1/x-1)/(1/x)用lospital法则，(e^1/x-1)×(-1/x^2)/(-1/x^2)=(e^1/x-1)=e^-1