Question

在矩形ABCD中，AB=根号3，BC=1，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）

（1）在圆弧DE上确定P的位置，使过P的切线平分矩形ABCD的面积
（2）若动圆M与满足（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆

Answer 1

（1）在圆弧DE上确定P的位置，使圆弧过P的切线平分矩形ABCD的面积，切线交AB于F,交CD   于 H, 连接AH，过F作CD垂线交CD于G

根据题意：

      △ADE≌△APE   HD+AF=FB+HC

      梯形ADEF的面积=（HD+AF)×AD÷2=AB×BC÷2=√3×1÷2=0.866

          ∴  HD+AF=FB+HC=1.732

     设∠DAH为a      则：  tg  a= DE∶AD    ∠DAH×2=∠AFP=∠FHG=2a   sin2a =AP∶AF   

              ∵ AD=AP=1    AB-AF=AB-DE-EG    EG=FG÷tg2a

             ∴   tg a+1÷sin 2a=1.732

             ∴  a=29°50′35.79″  ∠DAP=2a=59°41′11.58″有了这个角度，要确定P的位置就不介绍了；见附图1

（2）若动圆M与满足（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆

  首先：M园的切线HF要平分矩形ABCD的面积，同时M园要与CD相切，且M园必须在矩形ABCD之内，还面积最大，所以：

M园的最大半径：√3÷2÷2=0.433

过AB的中点作CD的垂线交AB于F,交CD于H,

作切HF、CD，半径为0.433的园，就是M园

见附图2

Answer 2

1），平分矩形的点必定过矩形的中心(对角线的交点)，在此题中P点正好是两条对角线的交点
2），M点位于和CD和BC长均为(√2-1)的点