Question

函数f（x）的定义域为D=﹛x／x≠0﹜且满足对于任意x1，x2∈0，有f（x1乘x2）=f（x1）+f(x2)

⑴。求f（1）值
⑵判断f（x）的奇偶性
⑶如果f（4）=1，f（3x+1）+f（2x-6）≤3且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围

Answer 1

(1).令x1和x2全为1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0。
（2）令x1和x2全为-1，则f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0。令x2=-1，则f(-x1)=f(x1)+f(-1),即
f(-x1)=f(x1)，所以为偶函数。
（3）f（4）=1，则不等式右边3=f（4）+f（4）+f（4）=f(4*4)+f(4)=f(16)+f(4)=f(16*4)=f(64)。
不等式左边f（3x+1）+f（2x-6）=f((3x+1)*(2x-6))=f(6x^2-16x-6).因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以6x^2-16x-6≤64,且6x^2-16x-6>0.不等式组解答，最后得x∈[-7/3,-1/3), 或x∈(3,5].