Question

已知函数f(x)=(x-k)e的X次方 ①求f(x)的单调区间②求f(x)在区间[0,1]上的最小值

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=（x-k+1）ex，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x）f（x）随x的变化情况如下：
x （-∞，k-1） k-1 （k-1，+∞）
f`(x) - 0 +
f(x) ↓ -e^(k-1) ↑

∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1），f（x）的单调递增区间（k-1，+∞）；

（Ⅱ）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-k；
当0＜k-1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k-1）=-e^(k-1)
当k-1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1-k）e；

Answer 2

f(x)=(x-k)e^x
f`(x)=e^x+(x-k)e^x=(x-k+1)e^x=0
x=k-1
(k-1,+∝)单调增区间
(-∝,k-1)单调减区间
②f`(x)=(x-k+1)e^x=0
1)k-1<0 k<1
f(x)min=f(0)=-k
2)0<k-1<1 1<k<2
f(x)min=f(k-1)=-e^(k-1)
3)k-1>1 k>2
f(x)min=f(1)=(1-k)e
4)k=1
f(x)min=f(0)=-1
5)k=2
f(x)min=f(1)=-e

Answer 3

解：（1）f′（x）=（x-k+1）ex，令f′（x）=0，得x=k-1；
所以f（x）在（-∞，k-1）上递减，在（k-1，+∞）上递增；
（2）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上递增，所以f（x）min=f（0）=-k；
当0＜k-1≤1，即1＜k≤2时，由（I）知，函数f（x）在区间[0，k-1]上递减，（k-1，1]上递增，所以f(x)min=f(k-1)=-ek-1；
当k-1＞1，即k＞2时，函数f（x）在区间[0，1]上递减，所以f（x）min=f（1）=（1-k）e．

Answer 4

Answer 5

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