Question

]已知f(x)=4cos^4x-2cos^2x-1/tan(π/4+x)sin^2(π/4-x) (1),若tan(π/4+x)=3,求f(x)的值

（2）当x∈[0,π/2]时，求g(x)=1/2f(x)+sin2x的最大值

Answer 1

tan(π/4+x)=3,tan²(π/4+x)=9,cos²(π/4+x)=1/10，sin²(π/4+x)=9/10，cos(π/2+2x)=2*1/10-1=-4/5，sin2x=4/5 ,sin²2x=16/25，4sin²x*cos²x=16/25,sin²x*cos²x=4/25，(1-cos²x)*cos²x=4/25, sin^2(π/4-x)=1/2(1-sin2x)=1/10
f(x)=4cos^4x-2cos^2x-1/tan(π/4+x)sin^2(π/4-x) =2cos^4x-2(1-cos²x)*cos²x-1/3*1/10
=(1-2sin²2x)²-8/25-3/10=49/625-200/625-3/10=-151/625-3/10=-1031/3750
（2）当x∈[0,π/2]时，求g(x)=1/2f(x)+sin2x的最大值
g(x)=1/2f(x)+sin2x=2cos^4x-cos^2x-1/2tan(π/4+x)sin^2(π/4-x)+sin2x