Question

不等式4^x+a*2^x+1≥0对于一切x属于R恒成立，则a的取值范围是

Answer 1

解：
设t=2^x，
则原题可变为：
不等式t²+at+1≥0对于一切t＞0恒成立，求a的取值范围。
t²+at+1≥0，
a≥-(1/t+t)，
只需a≥-(1/t+t)的最大值，
因为1/t+t≥2√(1/t*t)=2，仅当1/t=t，t=1时等号成立，
那么-(1/t+t)的最大值为-2，
即a的取值范围是a≥-2.

Answer 2

4^x+a×2^x+1≥0
(2^x)^2+a×2^x+1≥0
2^x恒>0
令2^x=t，对于函数f(t)=t²+at+1
当t>0时，t²+at+1≥0
(1)对于方程t²+at+1=0，判别式≤0且判别式=0时，t为正。
或
(2)对于函数f(t)=t²+at+1，对称轴-a/2≤0 f(0)≥0
由(1)得：a²-4≤0 -2≤a≤2
a=2时，t=-1，舍去
-2≤a<2
由(2)得：a≥0
综上，得a≥-2