Question

1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A 作AF⊥AE交

1）如图（1），正方形ABCD中，E为边CD上一点，连结AE，过点A 作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系为 ．（2）如图（2），在（1）的条件下，连结AC，过点A作AM⊥AC 交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系 ．解决问题：①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中 = =90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图（3）中画出剪拼得示意图．②王师傅现在有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼得示意图；若不能，简要证明理由．

Answer 1

（1）根据两角互余的关系先求出∠BAF=∠DAE，再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE，由全等三角形的性质即可解答；

（2）先根据正方形的性质及AM⊥AC求出AM=AC，∠AMF=∠ACB=45°，再由△ABF≌△ADE及三角形内角和定理可求出∠MAF=∠CAE，再由SAS定理求出△AMF≌△ACE，即CE=MF；

（3）①画出示意图，只要求出△ABE≌△ADF，再根据此条件求出四边形AECF是正方形即可；

②根据题意画出示意图即可，此时正方形的面积等于两块涂料面积的和．

解答：解：（1）∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，

∴∠BAF=∠DAE，

∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，

∴△ABF≌△ADE（ASA），

∴AE=AF．

（2）CE=MF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，

∵△ABF≌△ADE，

∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，

∴∠MAF=∠EAC，

∴△AMF≌△ACE，

∴CE=MF．

（3）把△ABE切下，拼到△ADF的位置，

∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠AEB=∠AFD=90°，

∴∠ABE=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF，

∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，

∴四边形AECF是正方形．

Answer 2

解：（1）∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°，

∴∠BAF=∠DAE，

∵AB=AD，∠ADE=∠ABF，

∴△ABF≌△ADE（ASA），

∴AE=AF．（5分）

（2）CE=MF．（7分）

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC，

∵△ABF≌△ADE，

∴∠FAB+∠ABF=∠DAE+∠AED，即∠AFB=∠AEC，

∴∠MAF=∠EAC，

∴△AMF≌△ACE，

∴CE=MF．

（3）①如图所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置，

∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠AEB=∠AFD=90°，

∴∠ABE=∠ADF，

∴△ABE≌△ADF，

∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°，

∴四边形AECF是正方形．

②如图4所示，

Answer 3

（1）易证△ABF≌△ADE，所以AE=AF。
（2）根据（1）中AE=AF，易证：AMF≌△ACE。所以CE=MF。
其他题目没图，没法做。