Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC和CD上，AE=AF。

①求证：BE=DF
②连接AC交EF与点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM,FM。判断四边形是什么特殊图形？并证明。

Answer 1

证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
∵AB=ADAE=AF​，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．

（2）四边形AEGF是菱形．
证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AO垂直平分EF，
∴OE=OF，
又∵OG=OA，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEGF是菱形．

Answer 2

1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．

Answer 3

　　（1）∵四边形ABCD是正方形，
　　∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
　　∵AE=AF，
　　∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
　　∴BE=DF

　　（2）四边形AEMF是菱形．
　　∵四边形ABCD是正方形，
　　∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
　　BC=DC（正方形邻边相等），
　　∵BE=DF（已证），
　　∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
　　即CE=CF，
　　因为角ECO＝角FCO
　　所以EO＝FO(三线合一,不要全等)(有了新型武器,干嘛还拿弹弓去打人呢,你out到北极了）
　　∵OM=OA，
　　（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
　　∴四边形AEMF是平行四边形，
　　∵AE=AF，
　　∴平行四边形AEMF是菱形．

Answer 4

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．

Answer 5

1、利用全等三角形做
2、菱形，利用对角线互相平分证得为平行四边形，再证对角线互相垂直就可证得其为菱形