Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC和CD上，AE=AF。

①求证：BE=DF
②连接AC交EF与点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM,FM。判断四边形是什么特殊图形？并证明。

Answer 1

（1）证明：∵∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BAE和△CBF中
，
△BAE≌△CBF，
∴AE=BF；

（2）结论：HF=GE
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∴GT⊥HN，
∴∠FHN+∠HPO=90°∠EGT+∠GPM=90°∠GPM=∠HPO，
∴∠FHN=EGT，
∵HN=GT∠GTE=∠NHF=90°，
∴△GTE≌△HNF，
∴GE=HF；

（3）结论：GE⊥HF
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∵GT=HN GE=HF，
∴直角三角形HFN≌直角三角形GTE，
∴∠FHN=∠EGT，
又∵∠FHN+∠HPO=90°，
∠HPO=∠GPM，
∴∠GPM+∠EGT=90°，
∴∠GMP=90°，
∴GE⊥HF；

（4）结论：∠AMF=60°．
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠ABE=∠BME=60°，
∴∠AMF=∠BME=60°．

Answer 2

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．

Answer 3

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°．∵AE = AF，∴△ABE全等于△ADF．∴BE＝DF． （2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．∵BE＝DF，∴BC－BE = DC－DF. 即CE=CF．∴OE=OF．∵OM = OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE = AF，∴平行四边形AEMF是菱形．
（1） 角ADF等于角ABE AB=AD（正方形四条边相等） DF等于BE（因为正方形四条边都相等 所以它们的中点也相等） 所以三角形ADF全等于三角形ABE 所以BF=DE (2)菱形由（1）可知三角形ADF全等于三角形ABE所以AE=AF且OM=OA所以AFME是平行四边形因为两条邻边相等的平行四边行是菱形

Answer 4

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．

（1）证明：∵∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△BAE和△CBF中
，
△BAE≌△CBF，
∴AE=BF；

（2）结论：HF=GE
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∴GT⊥HN，
∴∠FHN+∠HPO=90°∠EGT+∠GPM=90°∠GPM=∠HPO，
∴∠FHN=EGT，
∵HN=GT∠GTE=∠NHF=90°，
∴△GTE≌△HNF，
∴GE=HF；

（3）结论：GE⊥HF
分别过G、H作GT⊥BC、HN⊥CD，
∵GT=HN GE=HF，
∴直角三角形HFN≌直角三角形GTE，
∴∠FHN=∠EGT，
又∵∠FHN+∠HPO=90°，
∠HPO=∠GPM，
∴∠GPM+∠EGT=90°，
∴∠GMP=90°，
∴GE⊥HF；

（4）结论：∠AMF=60°．
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∴∠ABE=∠BME=60°，
∴∠AMF=∠BME=60°．

Answer 5

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．