Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC和CD上，AE=AF。

①求证：BE=DF
②连接AC交EF与点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM,FM。判断四边形是什么特殊图形？并证明。

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．

Answer 2

1，在正方形ABCD中，因为AB=AD，角B=角D=90°，加上AE=AF，所以三角形ABE全等于三角形DF，所以，BE=DF
2，连接BD,因为正方形ABCD,所以，AC垂直BD，因为BE=DF,所以，BD//EF,故EF垂直AM，又因为，AF=AE,AO=AO,所以，三角形AOE全等三角形AOF,所以，OE=OF,因为，AO=OM,所以，O为AM和EF的中点，综上，四边形AEMF为菱形

Answer 3

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∴∠COD=∠COF=90°（对角线互相平分且垂直的四边形是菱形）
∴四边形AEMF是菱形

Answer 4

证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．

（2）四边形AEGF是菱形．
连接BD交AC于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
又∵BE=DF（已证），BC-BE=DC-DF（等式的性质），
∴EF∥BD，CE=CF，
∴EF⊥AC；即易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OG=OA，
∴四边形AEGF是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴平行四边形AEGF是菱形．

Answer 5

解：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF

（2）四边形AEMF是菱形．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC=DC（正方形邻边相等），
∵BE=DF（已证），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性质），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OM=OA，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形AEMF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．