Question

过抛物线y^2=2x 焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知线段AB长为10，O为坐标原点，求ΔOAB重心的横坐标

Answer 1

2p=2，p=1，p/2=1/2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由于|AB|=|AF|+|FB|=x1+x2+p=10，所以x1+x2=9
而 y1*y2=-p^2=-1
所以由 y1^2+y2^2=2(x1+x2)=(y1+y2)^2-2y1*y2
得 y1+y2=±4

重心坐标为（(x1+x2)/3，(y1+y2)/3）即 （3，±4/3）

追问

谢谢 ！再请问：为什么 y1*y2=-p^2=-1 ？

追答

这是抛物线的重要性质，过焦点的弦两端点的纵坐标、横坐标的积均为常数。

开口向左或右：y1*y2=-p^2，x1*x2=p^2/4
开口向上或下：y1*y2=p^2/4，x1*x2=-p^2