Question

已知二次函数 f(x)=X²+(b+1)X+c(b≥0),c∈R,若f(x)的定义域为{x|-1≤X≤0},值域是{f(x)|-1≤f(

已知二次函数 f(x)=X²+(b+1)X+c(b≥0),c∈R,若f(x)的定义域为{x|-1≤X≤0},值域是{f(x)|-1≤f(x)≤0}.符合上述条件的函数f(x)是否存在？若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

存在，f（x）=x^2+2*x
因为这个二次函数的对称轴x=-（b+1）/2，因为(b≥0)，所以-（b+1）/2≤-1/2.
接下来动轴定区间开始讨论——【1】-（b+1）/2≤-1，即b≥1时；x=-1时y（min）=-b+c=-1；x=0时y（max）=c=0,；此时解得b=1，所以f（x）=x^2+2*x 。
【2】-1<-（b+1）/2≤-1/2，即0≤b<1；x=0时y（max）=c=0；y（min）=f{-（b+1）/2}=-1解得b=-3或1，全舍去。结束——综上所述当b=1，c=0时，函数f（x）存在，表达式f（x）=x^2+2*x。