Question

一道几何难题。

如图，D是等腰RT三脚行ABC的直角边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别叫AC.AD.AB于E.O.F.BC=2。
（1）CD=根号2时，求AE；
（2）证明，当CD=2（根号2-10时。四边形AEDF为菱形。

Answer 1

解：①在等腰Rt△ABC中，有AC=BC=2，
在Rt△ACD中，AD= 根号下 AC2+CD2= 根号下4+2= 根号6，
∵EF是AD的中垂线，
∴∠AOE=∠C=90°，AO= 二分之一AD= 二分之根号6，
∵∠AOE=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACD，
∴AO：AC=AE：AD，
∴AE= AO?AD除以AC= 二分之三．
②过D作DG⊥AB于G，BD=BC-CD=2-2根号2，
∵∠DGB=90°，∠B=45°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
由DG=GB=BDsin45°=（2-2根号2）× 二分之根号2=2（ 根号2-1）=CD，
∴Rt△ADC≌Rt△AGD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵EF是AD的中垂线，AF=FD，AE=ED，
∴∠CAD=∠BAD=∠ADE=∠ADF，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=FD=AE=ED，
∴四边形AEDF是菱形．