Question

设平面内有两个向量a=（cosα,sinα）, b=(cosβ, sinβ), 且0＜α＜β＜π

(1)证明：(a+b)⊥（a-b）
(2)若两个向量ka+b与a-kb的模相等，求β-α的值(k≠0，k属于R)

Answer 1

由于输入困难，箭头、点乘号省略，a=(cosx,sinx),b=(cosy,siny)
1' 欲证原命题，只需证
（a＋b)(a－b)=0即证a^2－b^2＝0
即证a^2=b^2…(*)由题意，显然|a|=1=|b|,
所以（＊）成立，故原命题成立
2' 由|ka＋b|=|a－kb|得
(a＋kb)^2=(a－kb)^2
即k^2×a^2＋2kab＋b^2＝a^2－2kab＋k^2×b^2即
ab=0即cosxcosy＋sinxsiny=0
即cos(x－y)=0
又0<x<y<pai,所以y－x=pai/2

Answer 2

第一问有更简便的解法，：(a+b)乘（a-b）=a^2-b^2=1-1=0,所以：(a+b)⊥（a-b）

Answer 3

1：(a+b)乘（a-b）=a^2-b^2=1-1=0,所以：(a+b)⊥（a-b）
2：ka+b)二次方=(a-kb)二次方,又K不等于0,所以a乘b=0,所以cos(α-β)=0,所以β-α=0.

Answer 4

1.a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),(a+b)点乘(a-b)=cosα二次方+sinα二次方+sinβ二次方+cosβ二次方=0,所以(a+b)⊥（a-b）.
2.(ka+b)二次方=(a-kb)二次方,又K不等于0,所以a乘b=0,所以cos(α-β)=0,所以β-α=0.