Question

数列与不等式证明1题

设n为给定的正整数，数列a(0),a(1),...,a(n)定义为a(0)=0.5,a(k)=a(k-1)+a(k-1)^2/n, k=1,2,...,n.证明1-1/n<a(n)<1
问题补充：
a(k)=a(k-1)+[a(k-1)^2]/n
（k）与（k-1）是下标,去掉括号
题目翻译：
n为给定的正整数，可以是1,2,3,4,5，……等等，在这里说是给定，但n=1到无穷大那个不等式都得成立，说“定”只是相对k而言的
至于k，k=1,2,...,n
n=1时，k只能为1，只有a0、a1两项，要证的是0<a1<1
n=2时，k=1,2，只有a0、a1、a3三项，要证的是1/2<a2<1
n=3时，k=1,2,3，只有a0、a1、a2、a3四项，要证的是2/3<a3<1
我适当的缩放了下，基本缩放都不行，
因为当n→∞时，a（n）基本上就等于1（应该是1_）
可是用数学归纳法又找不到an与a（n-1）的具体等值关系
目前实在是没辙了啊
可是明明记得很久很久以前做过这题，用的好像就是不等式的范围缩放（目前基本上可以得出0.5(1+1/2n)^n<an<0.5(1+1/n)^n,基本上也就是当n→∞时，(√e)/2<a（n）<e/2...。。。。就死了）

Answer 1

先说明，以下涉及的K都是0到n-1的整数。由已知条件知an＞a(n-1)＞...＞a1＞a0，于是a(k+1)=ak+1/n*ak^2＜ak+1/n*ak*a(k+1),1/ak-1/a(k+1)＜1/n.所以（1/a0-1/an)=∑（1/ak-1/a(k+1)＜∑1/n（∑上面是n-1，下面是k=0）=1，即1/an＞1/a0-1=1,所以an＜1.
另一方面，由ak＜1有a(k+1)=ak+1/n*ak^2＜ak+1/n*ak=(n+1)/n*ak,即ak＞n/(n+1）a(k+1),故a(k+1)=ak+1/n*ak^2＞ak+1/n*ak*n/(n+1)*a(k+1)=ak+1/n*ak*a(k+1),即1/ak-1/a(k+1）＞1/(n+1),所以1/ao-1/a(k+1)＞1/(n+1），所以1/ao-1/an=∑(1/ak-1/a(k+1))＞∑（1/(n+1))=n/(n+1).
因此1/an＜1/ao-n/(n+1)=2-n/(n+1)=(n+2)/(n+1),故an＞(n+1)/(n+2）=1-1/(n+2)＞1-1/n。证毕。
解此题的关键是将递推式中的ak的缩放。这是一道竞赛例题。

Answer 2

你下面说的不对，n是给定的整数，不是变量。这个证明是先证明k=1时成立，再假设k=m时成立，然后推出k=m+1时成立，m为任意正整数，从而推出从k=1到k=m都成立。

追问

n为任意正整数时都成立，解释是为了有些人问一些无聊的问题或者理解有偏差。
如果我没估错的话，你也理解错了。要证明的是题目中所给的数列的最后一项a（n）满足的不等式
给定n后，k<n时，a（k）并不一定满足那个不等式，具体点是a（k）并不一定大于1-1/n
例如n=4时，a（1）=1/2+[(1/2)^2]/4=9/16<1-1/3

如果用数学归纳法的话吧，应该是假设n=m时，满足，证明n=m+1时也满足，但是这两个a（n）的关系不好找啊

追答

n=4时，1/n=1/4=4/16啊
题目是照抄的吗，是的话那么n就只能以固定值而不能以变量来对待了，题目中有一个变量k，不可能再有个变量n的，当然总体来看的话n只要是正整数即可。

追问

你题目看错了，1- 在第一行

追答

额。。。我错了

Answer 3

先留个名，以后来看答案。。。楼主，说实话，这个题我感觉有点不对，比如当n=3时，a(3)=a(2)+a(2)^2/3;当n=4时，同样有a(3)=a(2)+a(2)^2/4,a(3)变化了，也就是说每出现一个新的n，前面的就会变化一次。。。

追问

要不然就简单多多了

Answer 4

有意思，先mark，吃完饭再认真看

Answer 5

lzsb

追问

哇塞，是不是我们又见面了

追答

不知道耶

Answer 6

是的