Question

设a>0,试讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x^2-2(1-a)x的单调性

额~拜托各位高手帮帮忙，过程详细点哦，加分，嘻~谢谢

Answer 1

首先，函数的定义域是（0，+∞）
f ‘(x)=1/x+2a(1-a)x-2(1-a)=[1+2a(1-a)x^2-2(1-a)x]/x
令g(x)=1+2a(1-a)x^2-2(1-a)x=2a(1-a)x^2--2(1-a)x+1
①当2a(1-a)=0，即a=1时,g(x)=1，f‘(x),≥0
②当2a(1-a)＞0，即0＜a＜1时，函数g(x)开口向上
△=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-a-2a)=4(1-a)(1-3a)
Ⅰ当1/3≤a＜1时，△≤0，g(x)≥0，f ‘(x)≥0
∴f(x)在（0，+∞）单调递增
Ⅱ当a＜1/3或a＞1（舍去）时，△＞0，
令g(x)=0，得到两根x1,x2
∴f(x)在(0,x1) 和(x2,+∞) 单调递增
f(x)在(x1,x2)单调递减
③2a(1-a)＜0，即a＞1时，函数g(x)开口向下
△=4(1-a)^2-8a(1-a)=4(1-a)(1-a-2a)=4(1-a)(1-3a)＞0，
令g(x)=0，得到两根x1,x2
∴f(x)在(0,x1) 和(x2,+∞) 单调递减
f(x)在(x1,x2)单调递增
晕，打死我咯，希望能帮助到你~~

Answer 2

a=1时，f(x)=lnx ,单调递增（x>0）
a不等于1时
f(x)=lnx+(ax^2-2x)(1-a)=lnx+(x^2-2x/a)(1-a)a=lnx+(x^2-2x/a+1/a^2-1/a^2)(1-a)a
=lnx+[(x-1/a)^2-1/a^2](1-a)a 对称轴 x=1/a
当a>1时 （1-a）a<0 所以 [(x-1/a)^2-1/a^2](1-a)a 在0<x<=1/a 时单调递增 同时f（x）在0<x<=1/a 时单调递增
当0<a<1时 （1-a）a>0 所以 [(x-1/a)^2-1/a^2](1-a)a 在x>=1/a 时单调递增 同时f（x）在0<x<=1/a 时单调递增

Answer 3

学过导数吗 用导数解不会很麻烦的 没学过的话查查书看一下就会了 很简单的