Question

已知函数f(x)=x-2/x+a(2-lnx) (a>0),讨论f(x)的单调性

急，要具体过程，最好是用二次求导的方法。谢谢

Answer 1

f(x)=x-2/x+a（2-lnx）=x-2/x+2a-alnx（x>0)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=（x^2+2-ax)/x^2
已知x^2>0所以只需讨论x^2+2-ax即可
x^2+2-ax为二次函数
令g(x)=x^2+2-ax
当△=<0时g(x)>=0恒成立，f'(x)>=0也恒成立，此时0<a=<√8
所以当0<a=<√8时，函数单调递增区间为（0，+∞）
当△>0时两根为x=√(a^2/4-2)±1/2a,此时，a>√8
因为a>√8，所以函数g(x)=x^2+2-ax的对称轴>0
且g(0)=2>0,所以x=√(a^2/4-2)±1/2a两根都可以取到
所以当a>√8时
函数单调递增区间为(0 ，√(a^2/4-2)-1/2a）和（√(a^2/4-2)+1/2a , +∞）
单调递减区间为[√(a^2/4-2)-1/2a , √(a^2/4-2)+1/2a ]