Question

已知三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+c2-b2=1/2ac

(1)求sin2{(A+C)/2}+cos(2b)的值
(2)若b=2,求三角形ABC面积最大值
？ ？ ？

Answer 1

1)∵a^2+c^2-b^2=1/2ac,由余弦定理可知：CosB=1/4，
∴Cos2B=2CosB^2-1=-7/8
∵π-B=A+C,0<B<π
∴Sin2(A+C)=Sin(2π-2B)=-Sin2B=-2SinB*CosB=-√15/8
∴Sin2(A+C)/2+Cos2B=-√15/16-7/8
2)
∵b=2,a>0,b>0
∴a^2+c^2-4=1/2ac,(a+c)^2=4,a+c=2,c=2-a,a∈(0,2)
∴S△ABC=1/2acSinB=√15/8 *ac=-√15/8 *a^2+√15/4 *a
∵顶点公式(-b/2a,4ac-b^2/4a)，
∴当a=1时，S△ABCmax=√15/8