Question

不等式x^2-ax-a<=-3在1<=x<=2内有解，求a的取值范围。

详细，谢谢，好的话，赏金多多

Answer 1

首先，解释一下如何保证在1<=x<=2内有解

整理不等式，x^2-ax-a+3<=0

左边为一开口向上的抛物线。当位于蓝色抛物线的位置时，不等式有解。换言之，就是抛物线在1<=x<=2（红色区间）内，在x轴下方（y=x^2-ax-a+3<=0）有曲线。所以首先抛物线与x轴必须有交点（不能恒大于0），其次两个极端情况如图黑色曲线所示：抛物线位置必须在两黑色曲线之间。

设x^2-ax-a+3=0的两个根（即抛物线与x轴的两个交点）为x1<x2

用数学式表示上述分析，得到三个不等式：

1) Δ=a^2-4*(3-a)>=0

2) x1=[a-√Δ]/2<=2

3) x2=[a+√Δ]/2>=1

1) Δ=a^2+4a-12>=0

∴a>=2或者a<=-6

2) [a-√(a^2+4a-12)]/2<=2

∴√(a^2+4a-12)>=a-4

分两种情况：当2<=a<=4或者a<=-6时，不等式恒成立；

                      当a>4时，化简不等式得到：a^2+4a-12>=a^2-8a+16

                         ∴12a>28

                         ∴a>7/3

                         ∴当a>4时不等式也恒成立；

∴不等式2)的解集也为a>=2或者a<=-6

3) [a+√(a^2+4a-12)]/2>=1

∴√(a^2+4a-12)>=2-a

分两种情况：当a>=2时，不等式恒成立；

                      当a<=-6时，化简不等式得到：a^2+4a-12>=a^2-4a+4

                         ∴8a>16

                         ∴a>2

                         ∴当a<=-6时不等式恒不成立；

∴不等式3)的解集为a>=2

∴不等式组的解集也为a>=2

Answer 2

解一：a（x+1）>=x^2+3,又1<=x<=2，所以{x+1|2<=x<=3}，所以有a>=（x^2+3）除以（x+1），只要解出（x^2+3）除以（x+1）{可用换元法如令b=a+1，再代入，展开在用不等式即可}在1<=x<=2的最大值（若为m）即可，所以解集就是a>=m
解二：数形结合法：根据发f（x）=x^2-ax-a+3=的图像，可知要在1<=x<=2内有解，就是在1<=x<=2内存在有一个解满足x^2-ax-a+3<=0，即1.f（1）<=0，或f（2）<=0. 2.f（1）>=0,f（2）>=0时，只要对称轴在1<x<2内，且 Δ>=0