Question

如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直线l经过点A,BD⊥l于D,CE⊥了于D,CE⊥l于E.

（1）若M为BC的中点，连接MD、ME，试判断△MDE的形状并证明.
（2）在（1）的条件下，设MD与AB交于点P，ME于AC交于点Q，连接PQ，若BP＝4，CQ＝10，试求△MPQ的面积

Answer 1

第一个问题：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°。
由BD⊥AD、AM⊥BM，得：A、D、B、M共圆，∴∠ADM＝∠ABC＝45°。
由CE⊥AE、AM⊥CM，得：A、E、C、M共圆，∴∠AEM＝∠ACB＝45°。
由∠ADM＝45°、∠AEM＝45°，结合三角形内角和定理，得：∠DME＝90°。
∴△MDE是以DE为底边的等腰直角三角形。

第二个问题：
∵M是等腰直角三角形ABC中斜边BC的中点，∴∠BAM＝∠CAM＝45°。
∵∠PAQ＝90°、∠PMQ＝90°，∴A、P、Q、M共圆，又∠PAM＝∠QAM，∴PM＝QM。

由余弦定理，有：
PM^2＝PB^2＋BM^2－2PB×BMcos∠ABC，QM^2＝CQ^2＋CM^2－2CQ×CMcos∠ACB。
∴PB^2＋BM^2－2PB×BMcos∠ABC＝CQ^2＋CM^2－2CQ×CMcos∠ACB
又BM＝CM，∴PB^2－2PB×BMcos∠ABC＝CQ^2－2CQ×BMcos∠ACB
∴16－2×4BMcos45°＝100－2×10BMcos45°，　∴4－2BM/√2＝25－5BM/√2，
∴3BM/√2＝21，∴BM＝7√2。
∴PM^2＝PB^2＋BM^2－2PB×BMcos∠ABC＝16＋49×2－2×4×7√2cos45°＝58。
于是：△MPQ的面积＝PM×QM/2＝PM^2/2＝58/2＝29。