Question

若an=n/2^n 求数列{an}的前n项和为sn

Answer 1

Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+4/2^4+...........+n/2^n
2Sn=1+2/2+3/2^2+4/2^3+5/2^4+........+n/2^(n-1)
下式-上式得
Sn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^(n-1)-n/2^n
=2-1/2^(n-1)-n/2^n

追问

这一步我弄懂了~Sn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+......+1/2^(n-1)-n/2^n
但是这个式子怎么得到=2-1/2^(n-1)-n/2^n 呢？？

Answer 2

Sn=1/2+2/2^2+3/2^3+……+(n-1)/2^(n-1)+n/2^n (1)
左右同乘以2
2Sn=1+2/2+3/2^2+4/2^3……+(n-1)/2^(n-2)+n/2^(n-1) (2)
(2)-(1)
Sn=1+1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)-n/2^n
1+1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)是一个首项为1，公比为1/2的等比数列，前n项和为2-1/2^(n-1)
Sn=2-1/2^(n-1)-n/2^n

Answer 3

sn=1/2+2/2^2+3/2^3+……+n/2^n=(2^(n-1)+2*2^(n-2)+3*2(n-3)+……+(n-1)2^1+n)/2^n
令fn=2^(n-1)+2*2^(n-2)+3*2(n-3)+……+(n-1)2^1+n
则2fn-fn=(2^n+2*2^(n-1)+3*2(n-2)+……+(n-1)2^2+n*2^1)-(2^(n-1)+2*2^(n-2)+3*2(n-3)+……+(n-1)2^1+n)
fn=2^n+2^(n-1)+2^(n-2)+……+2^2+2^1-n=2^(n+1)-2-n
所以sn=(2^(n+1)-2-n)/2^n