Question

已知点A（0,1）;斜率为k的直线L，与圆C：（x-2）^2+(y-3)^2=1相交于M、N两个不同点。1）求实数k取值范围。

2）求证：向量AM乘向量AN为定值。3）若O为坐标原点，且向量OM*向量ON=12.求k的值。 注意：L不过A点 急啊，下午要交，在线等谢谢

Answer 1

1）直线为y-1=kx,即y=kx+1 带入圆方程 得（1+k^2)x^2-(4k+4)x+7=0,要有2个不同点，则x必须为不同2值，即△=(4k+4)^2-4*7(1+k^2)>0
简化后 3k^2-8k+3<0 则 k的取值范围就出来了，由于有方根，不方便打，你自己算下。
2）设M,N点横坐标分别是x1,x2向量乘积为x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+k^2*x1x2=(1+k^2)x1x2
而x1x2=7/(1+k^2) 代入上式向量乘积为7
3）乘积为x1x2+y1y2=x1x1+(kx1+1)(kx2+1)=(k^2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=8+k(4k+4)/(1+k^2)=12
得k=1