Question

某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆.本年度为

某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1),则出厂价相应提高的臂力为0.7x，年销售量也应增加，（1）若年销售量增加的比率为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围？（2）年销售量关于x的函数y=3240(-x^2+2x+5/3),则当x为何值时，本年度的年利润最大？，最大利润为多少？

Answer 1

本年度每辆车的投入成本为10×（1+x）；
出厂价为13×（1+0.7x）；年销售量为5000×（1+0.4x），
因此本年度的利润为
y=[13×（1+0.7x）-10×（1+x）]×5000×（1+0.4x）
=（3-0.9x）×5000×（1+0.4x）
=-1800x2+1500x+15000（0＜x＜1），
由-1800x2+1500x+15000＞15000得
解得0<x<5/6

(2)本年度的利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x2＋2x＋)＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)
由f′(x)＝0，解得x＝5/9或x＝3，当x∈(0，5/9)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(5/9，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数.　∴当x＝5/9时，f(x)取极大值f(5/9)＝20000万元，

Answer 2

1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)；本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)，因此本年度的利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0＜x＜1)，由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0＜x＜，所以当0＜x＜时，本年度的年利润比上年度有所增加.　　　　　　　　　　　5分

(2)本年度的利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x2＋2x＋)＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)　　　　　　　　　　　　8分

由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∴当x＝时，f(x)取极大值f()＝20000万元，

因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，

所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元。　　　　　　12分

Answer 3

第一问：
{13+13*0.7-(10+10x）}（5000+5000*0.4x）-(14-10)*5000大于0
解得0<x<5/6