Question

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度

Answer 1

1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)；本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)，因此本年度的利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0＜x＜1)，由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0＜x＜，所以当0＜x＜时，本年度的年利润比上年度有所增加.　　　　　　　　　　　5分

(2)本年度的利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x2＋2x＋)＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)　　　　　　　　　　　　8分

由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∴当x＝时，f(x)取极大值f()＝20000万元，

因为f(x)在(0,1)上只有一个极大值，所以它是最大值，

所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元。　　　　　　12分

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Answer 2

解：(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元； 本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)万元； 本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)万元； 本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)辆． 因此本年度的利润为 y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x) ＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x) ＝－1800x2＋1500x＋15000(0<x<1)． 由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0<x<六分之五. 为使本年度的年利润比上年度有所增加，则0<x<六分之五.

(2)本年度的利润为 f(x)＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×3240×(－x2＋2x＋53)＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)， 则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x＋4.5) ＝972(9x－5)(x－3)． 令f′(x)＝0，解得x＝59或x＝3(舍去)． 当x∈(0，59)时，f′(x)>0，f(x)是增函数； 当x∈(59，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数． ∴当x＝59时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(59)＝20000. 即当x＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元.

Answer 3

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