Question

已知函数f(x)的定义域为D=｛x,x≠0｝,且满足对于X1,X2属于D，有f(X.1乘以X2)=f(X1)+f(X2).

（1）若x>1,f(x)>0,求证:f(x)在区间(0,+无穷)上是增函数
（2）在(1)的条件下,若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集

Answer 1

(1) 由f（x1x2）=f(x1)+f(x2),f(1)=f(x1)+f(1/x1),取x1=1,则有f(1)=2f(1),所以f(1)=0,即f(x1)+f(1/x1)=0.
对所有x1>x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(1/x2)=f(x1/x2).x1/x2>1,由条件得f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在区间(0,+无穷)上是增函数。

(2) f(4)=1,f(16)=f(4)+f(4)=2,不等式f(3x+1)≤2即不等式f(3x+1)≤f(16).由f(x)在区间(0,+无穷)上是增函数可知，0≤3x+1≤16,则-1/3≤x≤5.

事实上，函数的定义域应该是x>0吧，典型的例子就是y=lnx.

Answer 2

好难