Question

若a,b,c都大于0，且a+b+c=1 。求[1/(a+b)]+[1/(b+c)]+[1/(c+a)]的最小值？

Answer 1

由柯西不等式得
[1/(a+b)]+[1/(b+c)]+[1/(c+a)]
=[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]*(a+b+c)
=[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]*1/2*[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
>=1/2*[(a+b)/(a+b)+(b+c)/(b+c)+(c+a)/(c+a)]^2
=9/2
当且仅当 a+b=b+c=c+a即a=b=c=1/3时，上式取等号

所以，[1/(a+b)]+[1/(b+c)]+[1/(c+a)]的最小值是 9/2.

追问

1、=[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]*1/2*[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
2、>=1/2*[(a+b)/(a+b)+(b+c)/(b+c)+(c+a)/(c+a)]^2
1到2是怎么运用柯西不等式的，没学过。谢谢啦。

追答

(x1+x2+...+xn)(y1+y2+...+yn)>=[√(x1*y1)+√(x2*y2)+...+√(xn*yn)]^2