Question

已知函数f(x)=(1/(a^x-1)+1/2)×x^3（a>0且a≠1）

（1）求函数的定义域
（2）讨论函数的奇偶性
（3）求a的取值范围，使f(x)>0在定义上恒成立

Answer 1

（1）保证a^x-1不等于0，所以x的定义域为：x不等于0
（2）f(x)=(1/(a^x-1)+1/2)×x^3=（a^x+1）x^3/2(a^x-1)
f(-x)=[1/(a^(-x)-1)+1/2]×(-x)^3=（a^x+1）x^3/2(a^x-1)=f(x)
所以为偶函数
（3）f(x)=(1/(a^x-1)+1/2)×x^3=（a^x+1）x^3/2(a^x-1)
所以x^3和a^x-1同号
因为x>0,x^3>0
x<0,x^3<0
所以必须x>0,a^x-1>0；x<0，a^x-1<0
所以
x>0时a>1
x<0时a>1
所以当a>1时，f(x)>0在定义上恒成立