Question

如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC，交AC于E，AD⊥BE于D 求证，AC=2BD

图一会上，
△ABC，A上，B左下C右下，E在AC上
为什么图传不上去，大家只好想象了

Answer 1

过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点F
∵BE平分ABC
∴∠CBE=∠ABE
又∠ABC=2∠C
∴∠C=∠CBD
∴BE=CE
∵BC∥AF
∴∠F=∠CBD，∠C=∠CAF
又∠CBD=∠C
∴∠F=∠ABF=∠CAF
∴AB=AF,AE=EF
又AD⊥BE
∴BD=DF
∴AC=AE+CE=EF+BE=BF=2BD

Answer 2

过A做BC的平行线，交BE延长线于F
则∠F=∠CBE=∠ABE
∴AB=AF
∵AD⊥BE
∴BD=DF
BF=2BD
∵∠FAE=∠C=1/2∠ABC=∠CBE=∠F
∴AE=EF，BE=CE
∴AC=AE+CE=EF+BE=BF=2BD

Answer 3

证明：延长AD交BC于F，过点D作DG∥AC交BC于G
∵BE平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACB/2
∵AD⊥BD
∴∠BDA＝∠BDF＝90
∵BD＝BD
∴△ABD≌△FBD （ASA）
∴AD＝FD
∵DG∥AC
∴DG是△AFC的中位线
∴AC＝2DG
∵DG∥AC
∴∠DGB＝∠C
∵∠ABC＝2∠C
∴∠ABC＝2∠DGB
∴∠DGB＝∠ABC/2
∴∠DGB＝∠CBD
∴BD＝DG
∴AC＝2BD