Question

f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时f(x)=x,求f(x)在R上的解析式

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Answer 1

第一步确定函数的周期为4
f(x+2)=-f(x)则f(x+4)=f(x)
所以f(x)是周期为4的函数

第二步设法求出函数一个周期上的解析式，这里选择[-3，1]
其中-1≤x≤1时f(x)=x，只需再求出[-3，-1]解析式
当-3≤x≤-1时-1≤x+2≤1
所以f(x+2)=x+2
又f(x+2)=-f(x)
则-f(x)=x+2即f(x)=-(x+2)
所以当-3≤x≤-1时f(x)=-(x+2)
当-1≤x≤1时f(x)=x
以上两个区间合起来恰好一个周期，是一个分段函数

第三步，确定R上的解析式，实数集R可分为这样两个区间
(1) [4k-3，4k-1] (2) [4k-1，4k+1]
当4k-3≤x≤4k-1时-3≤x-4k≤-1故f(x-4k)=-(x-4k+2)
周期为4，所以f(x)=f(x-4k)
所以f(x)=-(x-4k+2)
当4k-1≤x≤4k+1时-1≤x-4k≤1故f(x-4k)=x-4k
周期为4，所以f(x)=f(x-4k)
所以f(x)=x-4k

综上所述结论是一个分段函数(其中K是整数)
当4k-3≤x≤4k-1时f(x)=-(x-4k+2)
当4k-1≤x≤4k+1时f(x)=x-4k

Answer 2

由f(x+2)=-f(x)，可得f(x+4)=f(x)，故此函数为以4为周期的函数，只需求其一个周期函数表达式即可。
1、当1<=x<=2时，-1<=x-2<=0
故f(x)=-f(x-2)=-x+2,
2、当-2<=x<=-1时，0<=x+2<=1,
故f(x)=-f(x+2)=-x-2
故在一个周期内，f（x）的表达式为：
当-2<=x<=-1时，f(x)=-x-2；
当-1≤x≤1时，f(x)=x；
当1<=x<=2时，f(x)=-f(x-2)=-x+2

Answer 3

这个题，画图方便一些，F（x+2）=-f（x）=f(-x)
对称轴是X=（0-2）/2=-1
你用初等变换也可以画出来，写得太麻烦，你还是作图吧

Answer 4

因为奇函数考虑定义域在0到正无穷
0≤x≤1 f(x）=X
又f(-X)=-f(X)=f(x+2)
令x+2代入 -f(X+2)=f(X+4)
即可得f(x)=f(X+4)
即函数f（x）以4为周期
在[1,3]上函数与[-1,1]上的函数关于x=1对称
综上在区间[2n-3,2n-1]上,n∈（…………，1,3,5,7，………）y=x+2(n-1)

在区间[2n-1,2n+1]上y=-x +2n