Question

双曲线问题

已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线C过点Q(2，3½／3﹚，且点Q在x轴上的射影恰为该双曲线的一个焦点F1.
﹙Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)命题:“过椭圆x²／25﹢y²／16＝1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则∕AB|∕|FM|为定值，且定值是10∕3”。命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线E，过该圆锥曲线焦点F的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F，M两点间的距离的比值。
试类比上述命题，写出一个关于双曲线C的类似的正确命题，并加以证明；
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题，写出关于圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一的一般性命题(不必证明)。

Answer 1

（1）双曲线方程为x²／3-y²＝1
焦点（2，0）用勾股定理和双曲线定义可算出2a，再算出b 即可。
（2）命题“过双曲线x²／3-y²＝1的一个焦点F作与x轴不垂直的任意直线l交双曲线于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则∕AB|∕|FM|为定值，且定值是根号3”。
证明方法是点斜式设直线，与双曲线联立消y得x 的一元二次方程，求出中点横坐标，代入直线方程求出纵坐标，从而可求出垂直平分线的方程，求出与对称轴的交点坐标，用弦长公式可求出AB，比即可得出答案。
（3）圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一的一般性命题：“过圆锥曲线的一个焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l交圆锥曲线于A,B两点，线段AB的垂直平分线交焦点所在对称轴于点M，则∕AB|∕|FM|为定值”。