Question

无穷级数 1/n 为何是发散的？ 无穷级数1/（n^2）和(1/n^3)又为何是收敛的？最好用图像作逻辑判断

无穷级数 1/n 是因为其SIGMA值随n值增大而不断累加， 而且无极限， 所以为发散的吗？
那1/（n^2）和(1/n^3)不也一样吗？为何又是收敛的呢？

Answer 1

第一个级数 称为调和级数 利用微分中值定理 可以证明1/n>ln(1+1/n) (构造y=lnx x在（n,n+1）)
级数1的部分和>ln（n+1）
第二个级数 无穷级数1/（n^2)<级数1/n(n+1) 后面的级数 分项 易证收敛
第三个级数 级数 (1/n^3)<无穷级数1/（n^2) 利用正项级数的比较收敛准则 易证收敛
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Answer 2

这个问题是∑1/（N^P）是否收敛的问题
p级数的敛散性：
当p>1时，p级数收敛；
当1≥p>0时，p级数发散。

P=1时又叫做调和级数
调和级数是发散的证明很简单，用初等数学就能证明，具体请查阅百度百科里面的
P级数或者调和级数
我就不复制过来了

以上

Answer 3

是P级数收敛问题，高数书上有结论，用等比公式算一下也行，很简单

Answer 4

调和级数的证明比较抽象：
如果假设∑1/n收敛，记部份和为Sn，且设lim(n→∞)Sn=s
於是有lim(n→∞)S(2n)=s，有lim(n→∞)(S(2n)-Sn)=s-s=0
但是S(2n)-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+n)>n/(n+n)=1/2，与lim(n→∞)(S(2n)-Sn)=s-s=0矛盾
所以调和级数∑1/n是发散的

又讨论P-级数∑1/(n^p)的敛散性。
（1）当p≤1时，因为n^p≤n，而调和级数∑1/n是发散的，根据比较审敛法知当0<p≤1时∑1/(n^p)是发散的
（2）当p>1时，对於任意实数x，当n-1≤x1≤n，有1/n^p≤1/x^p
1/n^p=∫1/n^p dx((n-1)~n)
≤∫1/x^p dx((n-1)~n)
=1/(p-1)[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)] (n=2,3,4....)
考虑级数∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)]，其部份和Sn=1-1/n^(p-1)
又有lim(n→∞)Sn=1，所以∑[1/(n-1)^(p-1)-1/n^(p-1)]收敛，根据比较审敛法，当p>1时，∑1/(n^p)收敛